Формули перерізу циліндра. Циліндр: площа бічної поверхні. Формула площі бічної поверхні циліндра

Тіла обертання, що вивчаються у школі, - це циліндр, конус та куля.

Якщо в задачі на ЄДІ з математики вам треба порахувати обсяг конуса чи площу сфери – вважайте, що пощастило.

Застосовуйте формули об'єму та площі поверхні циліндра, конуса та кулі. Усі вони є у нашій таблиці. Вчіть напам'ять. Звідси починається знання стереометрії.

Іноді непогано намалювати вид зверху. Або, як у цій задачі, – знизу.

2. У скільки разів обсяг конуса, описаного біля правильної чотирикутної піраміди, більший за обсяг конуса, вписаного в цю піраміду?

Все просто – малюємо вигляд знизу. Бачимо, що радіус більшого кола в раз більше, ніж радіус меншого. Висоти обох конусів однакові. Отже, обсяг більшого конуса буде у рази більшим.

Ще один важливий момент. Пам'ятаємо, що у задачах частини В варіантів ЄДІ з математики відповідь записується у вигляді цілого числа або кінцевого десяткового дробу. Тому ніяких або у вас у відповіді в частині бути не повинно. Підставляти наближене значення числа також не потрібно! Воно обов'язково має скоротитися! Саме для цього в деяких завданнях завдання формулюється, наприклад, так: «Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, поділену на».

А де ще застосовуються формули об'єму і площі поверхні тіл обертання? Звісно ж, у задачі С2 (16). Ми теж розповімо про неї.

Циліндр – це фігура, що складається з циліндричної поверхні та двох кіл, розташованих паралельно. Розрахунок площі циліндра – це завдання геометричного розділу математики, яке вирішується досить просто. Існує кілька методів її вирішення, які в результаті завжди зводяться до однієї формули.

Як знайти площу циліндра – правила обчислення

• Щоб дізнатися площу циліндра, необхідно дві площі основи скласти з площею бічної поверхні: S = Sбок. + 2Sосн. У більш розгорнутому варіанті дана формула виглядає так: S = 2 π rh + 2 π r2 = 2 π r (h + r).
• Площа бічної поверхні даного геометричного тіла можна вирахувати, якщо відомі його висота і радіус кола, що лежить в основі. В даному випадку можна виразити радіус із довжини кола, якщо вона дана. Висота може бути знайдена, якщо в умові задано значення твірної. У цьому випадку утворювальна дорівнюватиме висоті. Формула бічної поверхні даного тіла виглядає так: S = 2 π rh.
• Площа основи вважається за формулою знаходження площі кола: S osn = π r 2 . У деяких завданнях може не даватися радіус, але задаватися довжина кола. З цієї формули радіус виражається досить легко. С=2π r, r=С/2π. Потрібно пам'ятати про те, що радіус – це половина діаметра.
• При виконанні всіх цих розрахунків число π зазвичай не переводиться в 3,14159… Його потрібно просто дописувати поруч із числовим значенням, яке було отримано в результаті обчислень.
• Далі необхідно лише помножити знайдену площу підстави на 2 і додати до отриманого числа обчислену площу бічної поверхні фігури.
• Якщо завдання вказується, що у циліндрі є осьовий перетин і це – прямокутник, то рішення буде трохи іншим. У такому випадку ширина прямокутника буде діаметром кола, що лежить в основі тіла. Довжина фігури дорівнюватиме утворює або висоті циліндра. Необхідно вирахувати потрібні значення і підставити вже відому формулу. В даному випадку ширину прямокутника потрібно розділити на два, щоб знайти площу основи. Для знаходження бічної поверхні довжина множиться на два радіуси і на число π.
• Можна вирахувати площу даного геометричного тіла через його об'єм. Для цього потрібно з формули V = π r 2 h вивести недостатню величину.
• У обчисленні площі циліндра немає нічого складного. Потрібно лише знати формули та вміти виводити з них величини, необхідні для проведення розрахунків.

Циліндр (походить з грецької мови, від слів "ковзанка", "валик") - це геометричне тіло, яке обмежене зовні поверхнею, що називається циліндричною, і двома площинами. Дані площини перетинають поверхню фігури і є паралельними одна одній.

Циліндрична поверхня – це поверхня, яка отримана прямою лінією в просторі. Ці рухи такі, що виділена точка цієї прямої лінії здійснює рух вздовж кривої плоского типу. Така пряма лінія називається твірною, а крива лінія - спрямовуючою.

Циліндр складається з пари основ та бічної циліндричної поверхні. Циліндри бувають декількох видів:

1. Круговий, прямий циліндр. У такого циліндра основи і направляюча перпендикулярні до утворюючої лінії, і є

2. Похилий циліндр. У нього кут між твірною лінією і основою не є прямим.

3. Циліндр іншої форми. Гіперболічний, еліптичний, параболічний та інші.

Площа циліндра, а також площа повної поверхні будь-якого циліндра знаходиться за допомогою складання площ основ цієї фігури та площі бічної поверхні.

Формула, за якою обчислюється повна площа циліндра для кругового, прямого циліндра:

Sp = 2п Rh + 2п R2 = 2п R (h + R).

Площа бічної поверхні шукається трохи складніше, ніж площа циліндра цілком, вона обчислюється шляхом множення довжини утворюючої лінії на периметр перерізу, утвореного площиною, яка перпендикулярна до утворюючої лінії.

Ця циліндра для кругового, прямого циліндра дізнається по розгортці цього об'єкта.

Розгортка - це прямокутник, який має висоту h і довжину P, яка дорівнює периметру основи.

Звідси випливає, що бічна площа циліндра дорівнює площі розгортки і може бути обчислена за даною формулою:

Якщо взяти круговий, прямий циліндр, то для нього:

P = 2п R, а Sb = 2п Rh.

Якщо циліндр похилий, то площа бічної поверхні повинна дорівнювати добутку довжини його утворюючої лінії і периметра перерізу, який перпендикулярно даної утворюючої лінії.

На жаль, не існує простої формули для вираження площі бічної поверхні похилого циліндра через його висоту та параметри його основи.

Щоб обчислити циліндр, необхідно знати кілька фактів. Якщо перетин своєю площиною перетинає основи, такий переріз завжди є прямокутником. Але ці прямокутники будуть різними, залежно від положення перетину. Одна зі сторін осьового перерізу фігури, яка перпендикулярна основам, дорівнює висоті, а інша - діаметру основи циліндра. А площа такого перерізу, відповідно, дорівнює добутку однієї сторони прямокутника на іншу, перпендикулярну першій, або добутку висоти даної фігури на діаметр його основи.

Якщо перетин буде перпендикулярно основ фігури, але не проходитиме через вісь обертання, то площа цього перерізу дорівнюватиме добутку висоти цього циліндра і певної хорди. Щоб отримати хорду, потрібно побудувати коло біля основи циліндра, провести радіус і відкласти на ньому відстань, на якій знаходиться перетин. А від цієї точки потрібно провести перпендикуляри до радіусу від перетину з колом. Точки перетину з'єднуються із центром. А основа трикутника - це шукана якою шукається по звучить так: «Сума квадратів двох катетів дорівнює гіпотенузі, зведеній у квадрат»:

С2 = А2 + В2.

Якщо перетин не торкається основи циліндра, а сам циліндр круговий і прямий, то площа цього перерізу знаходиться як площа кола.

Площа кола дорівнює:

S окр. = 2п R2.

Щоб знайти R, потрібно її довжину C розділити на 2п:

R = C \ 2п, де п - число пі, математична постійна, обчислена для роботи з даними кола та дорівнює 3,14.

Під час вивчення стереометрії однією з головних тем стає «Циліндр». Площа бічної поверхні вважається якщо головною, то важливою формулою під час вирішення геометричних завдань. Однак важливо пам'ятати і визначення, які допоможуть зорієнтуватися в прикладах і за доказом різних теорем.

Поняття циліндра

Спочатку слід розглянути кілька визначень. Тільки після їх вивчення можна приступати до розгляду питання про формулу площі бічної поверхні циліндра. На основі цього запису можна обчислити інші висловлювання.

• Під циліндричною поверхнею розуміють площину, що описується твірною, що рухається і залишається паралельною заданому напрямку, що ковзає по наявній кривій.
• Є й друге визначення: циліндричну поверхню утворюють безліч паралельних прямих, що перетинають задану криву.
• Утворюючою називають умовно висоту циліндра. При її переміщенні навколо осі, що проходить через центр основи, виходить зазначене геометричне тіло.
• Під віссю мають на увазі пряму, що проходить через обидва підстави фігури.
• Циліндром називається стереометричне тіло, обмежене боковою поверхнею, що перетинається, і 2 паралельними площинами.

Існують різновиди цієї об'ємної фігури:

1. Під круговим мають на увазі циліндр, напрямна якого - це коло. Його головними складовими вважаються радіус основи та твірна. Остання дорівнює висоті фігури.
2. Існує прямий циліндр. Свою назву він отримав завдяки перпендикулярності фігури, що утворює до основ.
3. Третій вигляд – скошений циліндр. У підручниках можна зустріти й іншу його назву «круговий циліндр зі скошеною основою». Дану фігуру визначає радіус основи, мінімальна та максимальна висоти.
4. Під рівностороннім циліндром розуміють тіло, що має рівні між собою висоту та діаметр круглої площини.

Умовні позначення

Традиційно основні «компоненти» циліндра прийнято називати так:

• Радіус основи - R (він замінює аналогічну величину стереометричної фігури).
• Утворювальна - L.
• Висота – H.
• Площа основи – S осн (інакше кажучи, необхідно знайти вказаний параметр кола).
• Висоти скошеного циліндра - h 1, h 2 (мінімальна та максимальна).
• Площа бічної поверхні - S бік (якщо її розгорнути, то вийде свого роду прямокутник).
• Об'єм стереометричної фігури - V.
• Площа повної поверхні – S.

«Компоненти» стереометричної фігури

Коли вивчається циліндр, площа бічної поверхні відіграє важливу роль. Пов'язано це з тим, що ця формула входить у кілька інших, складніших. Тому необхідно бути добре підкованим у теорії.

Основними складовими фігури є:

1. Бічна поверхня. Як відомо, вона виходить завдяки руху, що утворює по заданій кривій.
2. Повна поверхня включає існуючі підстави і бічну площину.
3. Перетином циліндра, як правило, виступає прямокутник, розташований паралельно осі фігури. Інакше його називають площиною. Виявляється, довжина та ширина за сумісництвом є складовими інших фігур. Так, умовно довжинами перерізу є утворюють. Ширина – паралельні хорди стереометричної фігури.
4. Під осьовим перетином мають на увазі розташування площини через центр тіла.
5. І нарешті завершальне визначення. Дотичним називають площину, що проходить через утворює циліндра і знаходиться під прямим кутом до осьового перерізу. При цьому має виконатися одна умова. Зазначена твірна повинна входити в площину осьового перерізу.

Основні формули для роботи з циліндром

Для того щоб відповісти на питання, як знайти площу поверхні циліндра, необхідно вивчити основні «компоненти» стереометричної фігури та формули їх знаходження.

Дані формули відрізняються тим, що спочатку даються вирази для скошеного циліндра, а потім для прямого.

Приклади з розібраним рішенням

Необхідно дізнатися площу бічної поверхні циліндра. Дано діагональ перерізу AC = 8 см (причому воно є осьовим). При зіткненні з твірною виходить< ACD = 30°

Рішення. Оскільки відомі величини діагоналі та кута, то в такому випадку:

• CD = AC * cos 30 °.

Коментар. Трикутник ACD, у конкретному прикладі, прямокутний. Це означає, що частка від поділу CD і AC = косинусу наявного кута. Значення тригонометричних функцій можна знайти у спеціальній таблиці.

Аналогічно, можна знайти значення AD:

• AD = AC*sin 30°

Тепер необхідно обчислити за наступним формулюванням потрібний результат: площа бічної поверхні циліндра дорівнює подвоєному результату перемноження пі, радіуса фігури та її висоти. Слід скористатися й іншою формулою: площею основи циліндра. Вона дорівнює результату перемноження пі на квадрат радіусу. І, нарешті, остання формула: загальна площа поверхні. Вона дорівнює сумі попередніх двох площ.

Дано циліндри. Їх об'єм = 128*п см³. Який із циліндрів має найменшу повну поверхню?

Рішення. Для початку потрібно скористатися формулами знаходження об'єму фігури та її висоти.

Оскільки площа повної поверхні циліндра відома з теорії необхідно застосувати її формулу.

Якщо розглядати отриману формулу як функцію площі циліндра, то мінімальний «показник» буде досягнутий у точці екстремуму. Для отримання останнього значення потрібно скористатися диференціюванням.

Формули можна подивитися в спеціальній таблиці знаходження похідних. Надалі знайдений результат дорівнює нулю і є рішення рівняння.

Відповідь: S min буде досягнуто при h = 1/32 см, R = 64 см.

Дана стереометрична фігура - циліндр та переріз. Останнє проведено таким чином, що розташовується паралельно до осі стереометричного тіла. Циліндр має наступні параметри: ВК = 17 см, h = 15 см, R = 5 см. Необхідно знайти відстань між перетином і віссю.

Оскільки під перетином циліндра розуміється ВСКМ, тобто прямокутник, його сторона ВМ = h. Необхідно розглянути ВМК. Трикутник прямокутний. Виходячи з цього твердження, можна вивести правильне припущення, що МК = НД.

ВК² = ВМ² + МК²

МК² = ВК² - ВМ²

МК² = 17 ² - 15 ²

Звідси можна дійти невтішного висновку, що МК = ВС = 8 див.

Наступний крок - проведення перерізу через основу фігури. Необхідно розглянути площину, що вийшла.

AD – діаметр стереометричної фігури. Він паралельний перерізу, згаданому за умови завдання.

BC – пряма, розташована на площині наявного прямокутника.

ABCD – трапеція. У конкретному випадку вона вважається рівнобедреною, оскільки навколо неї описано коло.

Якщо знайти висоту отриманої трапеції, можна отримати відповідь, поставлений на початку завдання. А саме: знаходження відстані між віссю та проведеним перетином.

І тому необхідно визначити величини AD і ОС.

Відповідь: переріз розташовується 3 см від осі.

Завдання на закріплення матеріалу

Даний циліндр. Площа бічної поверхні використовується у подальшому вирішенні. Відомі інші параметри. Площа основи – Q, площа осьового перерізу – М. Необхідно знайти S. Іншими словами, повну площу циліндра.

Даний циліндр. Площу бічної поверхні необхідно знайти в одному з кроків розв'язання задачі. Відомо, що висота = 4 см, радіус = 2 см. Необхідно знайти повну площу стереометричної фігури.

Є геометричним тілом, обмеженим двома паралельними площинами і циліндричною поверхнею.

Циліндр складається з бічної поверхні та двох підстав. Формула площі поверхні циліндра включає окремий розрахунок площі підстав і бічної поверхні. Так як основи в циліндрі рівні, то повна його площа розраховуватиметься за формулою:

Приклад розрахунку площі циліндра ми розглянемо після того, як дізнаємося про всі необхідні формули. Для початку нам знадобиться формула площі основи циліндра. Оскільки основою циліндра є коло, то нам потрібно буде застосувати :
Ми пам'ятаємо, що у цих розрахунках використовується постійне число Π = 3,1415926, яке розраховане як співвідношення довжини кола до його діаметра. Це є математичною константою. Приклад розрахунку площі основи циліндра ми також розглянемо трохи згодом.

Площа бічної поверхні циліндра

Формула площі бічної поверхні циліндра є твір довжини основи на його висоту:

А тепер розглянемо завдання, в якому нам потрібно буде розрахувати повну площу циліндра. У заданій фігурі висота h = 4 см, r = 2 см. Знайдемо повну площу циліндра.
Для початку розрахуємо площу підстав:
Тепер розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні циліндра. У розгорнутому вигляді вона є прямокутником. Його площа розраховується за наведеною вище формулою. Підставимо до неї всі дані:
Повна площа кола являє собою суму подвійної площі основи та бічний:

Таким чином, використовуючи формули площі основ та бічної поверхні фігури, ми змогли знайти повну площу поверхні циліндра.
Осьовий переріз циліндра є прямокутником, в якому сторони рівні висоті і діаметру циліндра.

Формула площі осьового перерізу циліндра виводиться з формули розрахунку: