Поверхня правильної чотирикутної піраміди. піраміда. Формули та властивості піраміди

Визначення. Бічна грань- Це трикутник, у якого один кут лежить у вершині піраміди, а протилежна йому сторона збігається зі стороною основи (багатокутника).

Визначення. Бічні ребра- це спільні сторони бічних граней. У піраміди стільки ребер, скільки кутів у багатокутника.

Визначення. Висота піраміди- Це перпендикуляр, опущений з вершини на основу піраміди.

Визначення. Апофема- Це перпендикуляр бічної грані піраміди, опущений з вершини піраміди до сторони основи.

Визначення. Діагональний переріз- це переріз піраміди площиною, що проходить через вершину піраміди та діагональ основи.

Визначення. Правильна піраміда- це піраміда, в якій основою є правильний багатокутник, а висота опускається до центру основи.

Об'єм та площа поверхні піраміди

Формули. Об'єм пірамідичерез площу основи та висоту:

Властивості піраміди

Якщо всі бічні ребра рівні, навколо основи піраміди можна описати коло, а центр основи збігається з центром кола. Також перпендикуляр, опущений із вершини, проходить через центр основи (кола).

Якщо бічні ребра рівні, всі вони нахилені до площині підстави під однаковими кутами.

Бічні ребра рівні тоді, коли вони утворюють із площиною основи рівні кути або якщо навколо основи піраміди можна описати коло.

Якщо бічні грані нахилені до площини основи під одним кутом, то в основу піраміди можна вписати коло, а вершина піраміди проектується до її центру.

Якщо бічні грані нахилені до поверхні підстави під одним кутом, то апофеми бічних граней рівні.

Властивості правильної піраміди

1. Вершина піраміди рівновіддалена від усіх кутів основи.

2. Усі бічні ребра рівні.

3. Усі бічні ребра нахилені під однаковими кутами до основи.

4. Апофеми всіх бічних граней рівні.

5. Площі всіх бічних граней рівні.

6. Усі грані мають однакові двогранні (плоські) кути.

7. Навколо піраміди можна описати сферу. Центром описаної сфери буде точка перетину перпендикулярів, що проходять через середину ребер.

8. До піраміди можна вписати сферу. Центром вписаної сфери буде точка перетину бісектрис, що виходять із кута між ребром і основою.

9. Якщо центр вписаної сфери збігається з центром описаної сфери, то сума плоских кутів при вершині дорівнює π або навпаки один кут дорівнює π/n , де n - це кількість кутів в основі піраміди.

Зв'язок піраміди зі сферою

Навколо піраміди можна описати сферу тоді, коли в основі піраміди лежить багатогранник навколо якого можна описати коло (необхідна та достатня умова). Центром сфери буде точка перетину площин, що проходять перпендикулярно через середини бічних ребер піраміди.

Навколо будь-якої трикутної чи правильної піраміди можна описати сферу.

У піраміду можна вписати сферу, якщо бісекторні площини внутрішніх двогранних кутів піраміди перетинаються в одній точці (необхідна та достатня умова). Ця точка буде осередком сфери.

Зв'язок піраміди з конусом

Конус називається вписаним у піраміду, якщо їх вершини збігаються, а основа конуса вписана в основу піраміди.

Конус можна вписати до піраміди, якщо апофеми піраміди рівні між собою.

Конус називається описаним навколо піраміди, якщо їх вершини збігаються, а основа конуса описана навколо основи піраміди.

Конус можна описати навколо піраміди, якщо всі бічні ребра піраміди рівні між собою.

Зв'язок піраміди з циліндром

Піраміда називається вписаною в циліндр, якщо вершина піраміди лежить на одній основі циліндра, а основа піраміди вписана в іншу основу циліндра.

Циліндр можна описати навколо піраміди, якщо навколо основи піраміди можна описати коло.

У чотиригранник чотири грані та чотири вершини та шість ребер, де будь-які два ребра не мають спільних вершин але не стикаються.

Кожна вершина складається з трьох граней та ребер, які утворюють тригранний кут.

Відрізок, що з'єднує вершину чотиригранника із центром протилежної грані називається медіаною чотиригранника(GM).

Бімедіаноюназивається відрізок, що з'єднує середини протилежних ребер, які не стикаються (KL).

Усі бімедіани та медіани чотиригранника перетинаються в одній точці (S). При цьому бімедіани діляться навпіл, а медіани щодо 3:1, починаючи з вершини.

Визначення. Гострокутна піраміда- це піраміда в якій апофема більше половини довжини сторони основи.

Визначення. Тупокутна піраміда- це піраміда в якій апофема менше половини довжини сторони основи.

Визначення. Правильний тетраедр- чотиригранник, у якого всі чотири грані - рівносторонні трикутники. Він є одним із п'яти правильних багатокутників. У правильного тетраедра всі двогранні кути (між гранями) та тригранні кути (при вершині) рівні.

Визначення. Прямокутний тетраедрназивається чотиригранник у якого прямий кут між трьома ребрами при вершині (ребра перпендикулярні). Три грані утворюють прямокутний трикутний куті грані є прямокутними трикутниками, а основа є довільним трикутником. Апофема будь-якої межі дорівнює половині боку основи, яку падає апофема.

Визначення. Рівногранний тетраедрназивається чотиригранник у якого бічні грані рівні між собою, а основа – правильний трикутник. У такого тетраедра грані це рівнобедрені трикутники.

Визначення. Ортоцентричний тетраедрназивається чотиригранник, у якого всі висоти (перпендикуляри), що опущені з вершини до протилежної грані, перетинаються в одній точці.

Визначення. Зіркова піраміданазивається багатогранник, у якого основою є зірка.

Яку постать ми називаємо пірамідою? По-перше, це багатогранник. По-друге, в основі цього багатогранника розташований довільний багатокутник, а сторони піраміди (бічні грані) обов'язково мають форму трикутників, що сходяться в одній спільній вершині. Ось тепер, розібравшись із терміном, з'ясуємо, як знайти площу поверхні піраміди.

Зрозуміло, що площа поверхні такого геометричного тіла складеться із суми площ основи та всієї її бічної поверхні.

Обчислення площі основи піраміди

Вибір розрахункової формули залежить від форми багатокутника, що лежить в основі нашої піраміди. Він може бути правильним, тобто зі сторонами однакової довжини або неправильним. Розглянемо обидва варіанти.

В основі – правильний багатокутник

Зі шкільного курсу відомо:

• площа квадрата дорівнюватиме довжині його сторони, зведеній у квадрат;
• площа рівностороннього трикутника дорівнює квадрату його сторони, поділеному на 4 і помноженому на квадратний корінь із трьох.

Але існує і загальна формула для розрахунку площі будь-якого правильного багатокутника (Sn): треба помножити значення периметра цього багатокутника (Р) на радіус вписаного в нього кола (r), а потім розділити отриманий результат на два: Sn=1/2P*r .

В основі – неправильний багатокутник

Схема знаходження його площі полягає в тому, щоб спочатку розбити весь багатокутник на трикутники, обчислити площу кожного з них за формулою: 1/2a * h (де а - основа трикутника, h - опущена на цю основу висота), скласти всі результати.

Площа бічної поверхні піраміди

Тепер розрахуємо площу бічної поверхні піраміди, тобто. суму площ усіх її бокових сторін. Тут також можливі 2 варіанти.

1. Нехай ми маємо довільну піраміду, тобто. така, на основі якої – неправильний багатокутник. Тоді слід обчислити окремо площу кожної грані та скласти результати. Так як бічними сторонами піраміди за визначенням можуть бути тільки трикутники, то розрахунок йде за згаданою вище формулою: S = 1/2a * h.
2. Нехай наша піраміда – правильна, тобто. у її основі лежить правильний багатокутник, і проекція вершини піраміди виявляється у його центрі. Тоді для обчислення площі бічної поверхні (Sб) достатньо знайти половину добутку периметра багатокутника-основи (Р) на висоту (h) бічної сторони (однакову для всіх граней): Sб = 1/2 Р * h. Периметр багатокутника визначається додаванням довжин всіх його сторін.

Повна площа поверхні правильної піраміди знайдеться підсумовуванням площі її основи з площею всієї бічної поверхні.

Приклади

Для прикладу обчислимо алгебраїчну площу поверхні декількох пірамід.

Площа поверхні трикутної піраміди

В основі такої піраміди – трикутник. За формулою Sо=1/2a*h знаходимо площу основи. Цю формулу застосовуємо для знаходження площі кожної грані піраміди, також має трикутну форму, і отримуємо 3 площі: S1, S2 і S3. Площа бічної поверхні піраміди є сумою всіх площ: Sб = S1 + S2 + S3. Склавши площі бічних сторін і основи, отримаємо повну площу поверхні шуканої піраміди: Sп = Sо + Sб.

Площа поверхні чотирикутної піраміди

Площа бічної поверхні - це сума 4-х доданків: Sб = S1 + S2 + S3 + S4, кожне з яких обчислено за формулою площі трикутника. А площу основи доведеться шукати, залежно від форми чотирикутника – правильного чи неправильного. Площа повної поверхні піраміди знову вийде шляхом складання площі основи та повної площі поверхні заданої піраміди.

З поняттям піраміда учні стикаються задовго до вивчення геометрії. Виною всьому знамениті великі єгипетські чудеса світу. Тому, починаючи вивчення цього чудового багатогранника, більшість учнів вже наочно уявляють її собі. Всі вищезгадані пам'ятки мають правильну форму. Що таке правильна піраміда, і які властивості вона має і йтиметься далі.

Вконтакте

Визначення

Визначень піраміди можна зустріти чимало. Починаючи ще з давніх часів, вона мала популярність.

Наприклад, Евклід визначав її як тілесну фігуру, що складається з площин, які, починаючи від однієї, сходяться у певній точці.

Герон подав більш точне формулювання. Він наполягав на тому, що це постать, яка має основу та площини у вигляді трикутників,що сходяться в одній точці.

Спираючись на сучасне тлумачення, піраміду представляють як просторовий багатогранник, що складається з певного k-кутника і k плоских фігур трикутної форми, що має одну загальну точку.

Розберемося докладніше, з яких елементів вона складається:

• k-кутник вважають основою фігури;
• фігури 3-кутової форми виступають гранями бічної частини;
• верхня частина, з якої беруть початок бічні елементи, називають вершиною;
• всі відрізки, що з'єднують вершину, називають ребрами;
• якщо з вершини на площину фігури опустити пряму під кутом 90 градусів, то її частина, укладена у внутрішньому просторі - висота піраміди;
• в будь-якому бічному елементі до нашого багатогранника можна провести перпендикуляр, званий апофемою.

Число ребер обчислюється за формулою 2*k де k – кількість сторін k-кутника. Скільки граней такого багатогранника, як піраміда, можна визначити за допомогою виразу k+1.

Важливо!Пірамідою правильної форми називають стереометричну фігуру, площину основи якої є k-кутник з рівними сторонами.

Основні властивості

Правильна піраміда має безліч властивостей,які властиві лише їй. Перерахуємо їх:

1. Основа – фігура правильної форми.
2. Ребра піраміди, що обмежують бічні елементи, мають рівні числові значення.
3. Бічні елементи – рівнобедрені трикутники.
4. Основа висоти фігури потрапляє в центр багатокутника, при цьому він одночасно є центральною точкою, вписаною та описаною .
5. Усі бічні ребра нахилені до площини основи під однаковим кутом.
6. Усі бічні поверхні мають однаковий кут нахилу по відношенню до основи.

Завдяки всім перерахованим властивостям виконання обчислень елементів набагато спрощується. Виходячи з наведених властивостей, звертаємо увагу на дві ознаки:

1. У тому випадку, коли багатокутник вписується в коло, бічні грані матимуть з основою рівні кути.
2. При описі кола біля багатокутника всі ребра піраміди, що виходять з вершини, матимуть рівну довжину і рівні кути з основою.

В основі лежить квадрат

Правильна чотирикутна піраміда – багатогранник, у якого в основі лежить квадрат.

У неї чотири бічні грані, які за своїм виглядом є рівностегновими.

На площині квадрат зображають , але ґрунтуються на всіх властивостях правильного чотирикутника.

Наприклад, якщо потрібно зв'язати сторону квадрата з його діагоналлю, то застосовують таку формулу: діагональ дорівнює добутку сторони квадрата на квадратний корінь з двох.

В основі лежить правильний трикутник

Правильна трикутна піраміда – багатогранник, в основі якого лежить правильний трикутник.

Якщо основа є правильним трикутником, а бічні ребра рівні ребрам основи, то така фігура називається тетраедром.

Усі грані тетраедра є рівносторонніми 3-кутниками. В даному випадку необхідно знати деякі моменти та не витрачати на них час при обчисленнях:

• кут нахилу ребер до будь-якої основи дорівнює 60 градусів;
• величина всіх внутрішніх граней також становить 60 градусів;
• будь-яка грань може виступити основою;
• , проведені усередині фігури, це рівні елементи

Переріз багатогранника

У будь-якому багатограннику розрізняють кілька видів перерізуплощиною. Найчастіше у шкільному курсі геометрії працюють із двома:

• осьове;
• паралельне основі.

Осьовий переріз отримують при перетині площиною багатогранника, яка проходить через вершину, бічні ребра та вісь. У разі віссю є висота, проведена з вершини. Поверхня площина обмежується лініями перетину з усіма гранями, в результаті отримуємо трикутник.

Увага!У правильній піраміді осьовим перетином є рівнобедрений трикутник.

Якщо січна площина проходить паралельно до основи, то в результаті отримуємо другий варіант. У цьому випадку маємо в розрізі фігуру, подібну до основи.

Наприклад, якщо в основі лежить квадрат, то перетин паралельно основі також буде квадратом, тільки менших розмірів.

При вирішенні завдань за такої умови використовують ознаки та властивості подібності фігур, засновані на теоремі Фалеса. Насамперед необхідно визначити коефіцієнт подібності.

Якщо площина проведена паралельно основі, і вона відсікає верхню частину багатогранника, то нижній частині отримують правильну усічену піраміду. Тоді кажуть, що основи багатогранника є подібними багатокутниками. І тут бічні грані є рівнобокими трапеціями. Осьовим перетином також є рівнобока.

Для того щоб визначити висоту зрізаного багатогранника, необхідно провести висоту в осьовому перерізі, тобто в трапеції.

Площі поверхонь

Основні геометричні завдання, які доводиться вирішувати у шкільному курсі геометрії, це знаходження площ поверхні та обсягу у піраміди.

Значення площі поверхні розрізняють двох видів:

• площі бічних елементів;
• площі всієї поверхні.

Із самої назви зрозуміло, про що йдеться. Бічна поверхня включає лише бічні елементи. З цього випливає, що для її знаходження необхідно просто скласти площі бічних площин, тобто площі рівнобедрених трикутників. Спробуємо вивести формулу площі бічних елементів:

1. Площа рівнобедреного трикутника дорівнює Sтр=1/2(aL), де а – сторона основи, L – апофема.
2. Кількість бічних площин залежить від виду k-го косинця в основі. Наприклад, правильна чотирикутна піраміда має чотири бічні поверхні. Отже, необхідно скласти площі чотирьох фігур Sбок=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4а*L. Вираз спрощено у такий спосіб оскільки значення 4а=Росн, де Росн – периметр основи. А вираз 1/2*Росн є її напівпериметром.
3. Отже, робимо висновок, що площа бічних елементів правильної піраміди дорівнює добутку напівпериметра основи апофему: Sбок = Росн * L.

Площа повної поверхні піраміди складається з суми площ бічних площин і основи: Sп.п. = Sбок + Sосн.

Що стосується площі основи, то тут формула використовується відповідно до виду багатокутника.

Об'єм правильної пірамідидорівнює добутку площі площини підстави на висоту, розділену на три: V = 1/3 * Sосн * Н, де Н - висота багатогранника.

Що таке правильна піраміди в геометрії

Властивості правильної чотирикутної піраміди

Повна площа бічної поверхні піраміди складається із суми площ його бічних граней.

У чотирикутній піраміді розрізняється два види граней – чотирикутник в основі та трикутники із загальною вершиною, якою утворюють бічну поверхню.
Для початку потрібно розрахувати площу бічних граней. Для цього можна використовувати формули площі трикутника, а також можна скористатися формулою площі поверхні чотирикутної піраміди (тільки у випадку, якщо багатогранник правильний). Якщо піраміда правильна і в ній відома довжина ребра a основи та проведеної до нього апофеми h , то:

Якщо за умовами дано довжина ребра c правильної піраміди і довжина сторони основи a можна знайти значення за наступною формулою:

Якщо ж дана довжина ребра в основі і гострий кут, що протилежить їй, у вершини, то можна розрахувати площу бічної поверхні за співвідношенням квадрата сторони a до подвоєного косінусу половини кута α :

Розглянемо приклад розрахунку площі поверхні чотирикутної піраміди через бічне ребро та бік основи.

Завдання: нехай дана правильна чотирикутна піраміда. Довжина ребра b = 7 см, довжина сторони основи a = 4 см. Підставимо задані значення у формулу:

Ми показали розрахунки площі однієї бічної грані для правильної піраміди. Відповідно. Щоб знайти площу всієї поверхні, необхідно помножити результат на кількість граней, тобто на 4. Якщо піраміда довільна і її грані не рівні між собою, то розрахувати площу необхідно для кожної окремої сторони. Якщо в основі лежить прямокутник або паралелограм, варто згадати їх властивості. Сторони цих фігур попарно паралельні, відповідно грані піраміди будуть також попарно однакові.
Формула площі основи чотирикутної піраміди безпосередньо залежить від того, який чотирикутник лежить у основі. Якщо піраміда правильна, то площа основи розраховується за формулою , якщо в основі лежить ромб, потрібно згадати, як знаходиться . Якщо ж в основі лежить прямокутник, то знайти його площу буде досить просто. Достатньо знати довжини сторін основи. Розглянемо приклад розрахунку площі основи чотирикутної піраміди.

Завдання: Нехай дана піраміда, в основі якої лежить прямокутник зі сторонами a = 3 см, b = 5 см. До кожної із сторін з вершини піраміди опущена апофема. h-a = 4 см, h-b = 6 см. Вершина піраміди лежить на одній лінії з точкою перетину діагоналей. Знайдіть повну площу піраміди.
Формула площі чотирикутної піраміди складається із суми площ усіх граней та площі основи. Для початку знайдемо площу основи:


Тепер розглянемо грані піраміди. Вони попарно однакові, оскільки висота піраміди перетинає точку перетину діагоналей. Тобто, в нашій піраміді є два трикутники з основою a і висотою h-a, а також два трикутники з основою b і висотою h-b. Тепер знайдемо площу трикутника за відомою формулою:


Тепер виконаємо приклад розрахунку площі чотирикутної піраміди. У нашій піраміді з прямокутником в основі, формула буде виглядати так:

Перед вивченням питань про дану геометричну фігуру та її властивості слід розібратися в деяких термінах. Коли людина чує про піраміду, йому видаються величезні споруди в Єгипті. Так виглядають найпростіші з них. Але вони бувають різних видів та форм, а значить і формула обчислення для геометричних фігур буде різною.

Піраміда – геометрична фігура, Що позначає і є кілька граней. По суті - це той же багатогранник, в основі якого лежить багатокутник, а з боків розташовані трикутники, що з'єднуються в одній точці - вершині. Фігура буває двох основних видів:

• правильна;
• усічена.

У першому випадку, в основі лежить правильний багатокутник. Тут усі бічні поверхні рівніміж собою і сама постать порадує око перфекціоніста.

У другому випадку, підстав дві - велика в самому низу і мала між вершиною, що повторює форму основного. Іншими словами – усічена піраміда є багатогранником з перетином, утвореним паралельно підставі.

Терміни та позначення

Основні терміни:

• Правильний (рівносторонній) трикутник– фігура з трьома однаковими кутами та рівними сторонами. І тут всі кути мають 60 градусів. Фігура є найпростішою із правильних багатогранників. Якщо ця фігура лежить в основі, то такий багатогранник називатиметься правильною трикутною. Якщо в основі лежить квадрат, піраміда називатиметься правильною чотирикутною пірамідою.
• Вершина- Найвища точка, де сходяться грані. Висота вершини утворюється прямою лінією, що виходить від вершини до основи піраміди.
• Грань- Одна з площин багатокутника. Вона може бути у вигляді трикутника у випадку з трикутною пірамідою або у вигляді трапеції для усіченої піраміди.
• Переріз- Плоска фігура, що утворюється в результаті розсічення. Не варто плутати з розрізом, тому що розріз показує і те, що знаходиться за перетином.
• Апофема- Відрізок, проведений з вершини піраміди до її основи. Він також є висотою тієї межі, де знаходиться друга точка висоти. Дане визначення справедливе лише стосовно правильного багатогранника. Наприклад – якщо це не усічена піраміда, то грань буде трикутником. В даному випадку висота цього трикутника і стане апофемою.

Формули площі

Знаходити площу бічної поверхні пірамідибудь-якого типу можна кількома способами. Якщо фігура не симетрична і є багатокутником з різними сторонами, то в даному випадку легше обчислити загальну площу поверхні через сукупність усіх поверхонь. Іншими словами – треба порахувати площу кожної грані та скласти їх разом.

Залежно від того, які параметри відомі, можуть бути потрібні формули обчислення квадрата, трапеції, довільного чотирикутника і т.д. Самі формули у різних випадкахтеж матимуть відмінності.

У разі правильної фігурою знаходити площу набагато простіше. Достатньо знати лише кілька ключових параметрів. У більшості випадків потрібні обчислення саме для таких фігур. Тому надалі будуть наведені відповідні формули. В іншому випадку довелося б розписати все на кілька сторінок, що тільки заплутає і зіб'є з пантелику.

Основна формула для обчисленняплощі бічної поверхні правильної піраміди матиме такий вигляд:

S=½ Pa (P – периметр основи, а – апофема)

Розглянемо один із прикладів. Багатогранник має основу з відрізками A1, А2, А3, А4, А5, і всі вони дорівнюють 10 см. Апофема нехай дорівнюватиме 5 см. Для початку треба знайти периметр. Так як всі п'ять граней основи однакові, можна знаходити так: Р = 5 * 10 = 50 см. Далі застосовуємо основну формулу: S = ½ * 50 * 5 = 125 см в квадраті.

Площа бічної поверхні правильної трикутної пірамідиобчислити найлегше. Формула має такий вигляд:

S =½* ab *3, де а – апофема, b – межа основи. Множина трійки тут означає кількість граней основи, а перша частина – площа бічної поверхні. Розглянемо приклад. Дана фігура з апофемою 5 см і гранню основи 8 см. Обчислюємо: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 см у квадраті.

Площа бічної поверхні усіченої пірамідиобчислювати трохи складніше. Формула має такий вигляд: S =1/2*(p _01+ p _02)*a , де р_01 і р_02 є периметрами основ, а – апофема. Розглянемо приклад. Допустимо, для чотирикутної фігури дано розміри сторін основ 3 і 6 см, апофема дорівнює 4 см.

Тут для початку слід визначити периметри основ: р_01 = 3 * 4 = 12 см; р_02=6*4=24 див. Залишилося підставити значення основну формулу і отримаємо: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 див у квадраті.

Таким чином, можна знайти площу бічної поверхні правильної піраміди будь-якої складності. Слід бути уважним і не плутатиці обчислення з повною площею всього багатогранника. А якщо це все ж таки знадобиться зробити - достатньо обчислити площу найбільшої основи багатогранника і додати її до площі бічної поверхні багатогранника.

Відео

Закріпити інформацію про те, як знайти площу бічної поверхні різних пірамід, вам допоможе це відео.

Чи не отримали відповідь на своє запитання? Запропонуйте авторам тему.