Розрахунок довжини дуги по радіусу та куту. Коло та вписаний кут. Візуальний гід (2019)

Коломназивають замкнуту, плоску криву, всі точки якої, що у однієї площині, видалені однаковій відстані від центра.

Крапка Про є центром кола, R є радіусом кола - відстанню від якоїсь точки кола до центру. За визначенням усі радіуси замкнутої

Мал. 1

криві мають однакову довжину.

Відстань між двома точками кола називається хордою. Відрізок кола, що проходить через її центр і з'єднує дві її точки, називається діаметром. Середина діаметра є центром кола. Точки кола ділять замкнуту криву на дві частини, кожна частина зветься дуги кола. Якщо кінці дуги належать діаметру, то таке коло називається півколом, довжину якого прийнято позначати π . Градусний захід двох кіл, що мають спільні кінці, становить 360 градусів.

Концентричні кола - це кола, що мають загальний центр. Ортогональні кола - це кола, які перетинаються під кутом рівним 90 градусів.

Площина, яку обмежує коло, називається колом. Одна частина кола, яка обмежена двома радіусами та дугою – це круговий сектор. Дуга сектора – це дуга, що обмежує сектор.

Мал. 2

Взаємне розташування кола та прямої (рис.2).

Окружність і пряма мають дві спільні точки, якщо відстань від прямої до центру кола менша за радіус кола. У такому разі пряма по відношенню до кола називається січною.

Окружність і пряма мають одну загальну точку, якщо відстань від прямої до центру кола дорівнює радіусу кола. У такому разі пряма по відношенню до кола називається дотичною до кола. Їхня загальна точка носить назву точки дотику кола і прямої.

Основні формули кола:

C = 2πR , де C - довжина кола
R = С/(2π) = D/2 , де З/(2π) - Довжина дуги кола
D = C/π = 2R , де D - Діаметр
S = πR2 , де S - площа кола
S = ((πR2)/360)α , де S - Площа кругового сектора

Коло і коло отримали свою назву у Стародавній Греції. Вже в давнину людину цікавили круглі тіла, тому коло ставало вінцем досконалості. Те, що кругле тіло могло рухатися саме собою, стало поштовхом до винаходу колеса. Здавалося б, що особливого у цьому винаході? Але уявіть, якщо в одну мить колеса зникнуть із нашого життя. Надалі цей винахід породило математичне поняття кола.

Формула для знаходження довжини дуги кола досить проста, і дуже часто на важливих іспитах типу ЄДІ зустрічаються такі завдання, які неможливо вирішити без застосування. Також необхідно її знати для складання міжнародних стандартизованих тестів, наприклад, SAT та інших.

Чому дорівнює довжина дуги кола?

Формула виглядає так:

l = πrα / 180 °

Що являє собою кожен з елементів формули:

π - число Пі (постійна величина, що дорівнює ≈ 3,14);
r - радіус цього кола;
α - величина кута, який спирається дуга (центральний, а чи не вписаний).

Як видно, щоб вирішити задачу, в умові повинні бути r та α. Без цих двох величин довжину дуги знайти неможливо.

Яким чином виводиться ця формула і чому так виглядає?

Все дуже легко. Стане набагато зрозумілішим, якщо в знаменнику поставити 360 °, а в чисельнику спереду додати двійку. Також можна α не залишити в дробі, вивести її та написати зі знаком множення. Це цілком можна собі дозволити, тому що даний елемент стоїть у чисельнику. Тоді загальний вигляд стане таким:

l = (2πr / 360 °) × α

Просто для зручності скоротили 2 та 360°. А тепер, якщо придивитися, то можна помітити дуже знайому формулу довжини всього кола, а саме - 2πr.Все коло складається з 360 °, тому ми ділимо отриманий захід на 360 частин. Потім ми множимо на число α, тобто на ту кількість "шматків пирога", яка нам потрібна. Але всім відомо, що число (тобто довжина всього кола) не може ділитися на градус. Що ж робити у такому разі? Зазвичай, як правило, градус скорочується із градусом центрального кута, тобто з α. Після ж залишаються лише числа, а результаті виходить кінцевий відповідь.

Цим можна пояснити те, чому довжина дуги кола знаходиться таким чином і має такий вигляд.

Приклад завдання середньої складності із застосуванням даної формули

Умова: Є коло з радіусом 10 сантиметрів. Градусний захід центрального кута становить 90°. Знайти довжину дуги кола, утворену цим кутом.

Рішення: l = 10? × 90 ° / 180 ° = 10? × 1 / 2 = 5?

Відповідь: l = 5π

Також можливо, щоб замість градусного заходу давалася б радіальна міра кута. У жодному разі не варто лякатися, адже цього разу завдання стало набагато легшим. Щоб перевести радіальну міру в градусну, потрібно це число помножити на 180 ° / π. Отже, тепер можна підставити замість α наступну комбінацію: m × 180 ° / π. Де m – це радіанне значення. А далі 180 і число π скорочуються і виходить спрощена формула, яка виглядає наступним чином:

m - радіанна міра кута;
r - радіус цього кола.

Спочатку це виглядає так:

Малюнок 463.1. а) наявна дуга; б) визначення довжини хорди сегмента та висоти.

Таким чином, коли є дуга, ми можемо з'єднати її кінці і отримаємо хорду завдовжки L. Посередині хорди ми можемо провести лінію, перпендикулярну до хорди і таким чином отримаємо висоту сегмента H. Тепер, знаючи довжину хорди і висоту сегмента, ми можемо спочатку визначити центральний кут α, тобто. кут між радіусами, проведеними з початку та кінця сегмента (на малюнку 463.1 не показані), а потім і радіус кола.

Вирішення подібного завдання досить докладно розглядалося у статті "Розрахунок арочної перемички", тому тут лише наведу основні формули:

tg( a/4) = 2Н/L (278.1.2)

а/4 = arctg( 2H/L)

R = H/(1 - cos( a/2)) (278.1.3)

Як бачимо, з погляду математики жодних проблем із визначенням радіуса кола немає. Даний метод дозволяє визначити значення радіусу дуги з будь-якою точністю. Це головна перевага цього методу.

А тепер поговоримо про недоліки.

Проблема даного методу навіть не в тому, що потрібно пам'ятати формули зі шкільного курсу геометрії, успішно забуті багато років тому – для того, щоб нагадати формули – є інтернет. А ось калькулятор з функцією arctg, arcsin та ін. є далеко не у кожного користувача. І хоча цю проблему також успішно дозволяє вирішити інтернет, але при цьому не слід забувати, що ми вирішуємо досить прикладне завдання. Тобто. далеко не завжди потрібно визначити радіус кола з точністю до 0.0001 мм, точність 1 мм може бути цілком прийнятною.

Крім того, для того, щоб знайти центр кола, потрібно продовжити висоту сегмента і відкласти на цій прямій відстань, що дорівнює радіусу. Так як на практиці ми маємо справу з не ідеальними вимірювальними приладами, до цього слід додати можливу похибку при розмітці, виходить, що менше висота сегмента по відношенню до довжини хорди, тим більше може набігти похибка при визначенні центру дуги.

Знову ж слід забувати у тому, що ми розглядаємо не ідеальний випадок, тобто. це ми так відразу назвали криву дугою. Насправді це може бути крива, що описується досить складною математичною залежністю. А тому знайдений таким чином радіус та центр кола можуть і не співпадати з фактичним центром.

У зв'язку з цим я хочу запропонувати ще один спосіб визначення радіуса кола, яким сам часто користуюся, тому що цим способом визначити радіус кола набагато швидше і простіше, хоча точність значно менша.

Другий метод визначення радіусу дуги (метод послідовних наближень)

Отже, продовжимо розгляд наявної ситуації.

Так як нам все одно необхідно знайти центр кола, то для початку ми з точок, що відповідають початку та кінцю дуги, проведемо як мінімум дві дуги довільного радіусу. Через перетин цих дуг буде проходити пряма, на якій і знаходиться центр шуканого кола.

Тепер потрібно з'єднати перетин дуг із серединою хорди. Втім, якщо ми із зазначених точок проведемо не по одній дузі, а по дві, то ця пряма проходитиме через перетин цих дуг і тоді шукати середину хорди зовсім не обов'язково.

Якщо відстань від перетину дуг до початку або кінця дуги, що розглядається більше, ніж відстань від перетину дуг до точки, відповідної висоті сегмента, то значить центр розглядається дуги знаходиться нижче на прямій, проведеній через перетин дуг і середину хорди. Якщо менше – то шуканий центр дуги вищий на прямий.

Тому на прямий приймається наступна точка, імовірно відповідна центру дуги, і від неї виробляються ті ж вимірювання. Потім приймається наступна точка та виміри повторюються. З кожною новою точкою різниця вимірів буде дедалі меншою.

Ось, власне, і все. Не дивлячись на настільки простий і складний опис, для визначення радіусу дуги таким способом з точністю до 1 мм достатньо 1-2 хвилин.

Теоретично це виглядає приблизно так:

Малюнок 463.2. Визначення центру дуги шляхом послідовних наближень.

А на практиці приблизно так:

Світлина 463.1. Розмітка заготовки складної форми із різними радіусами.

Тут тільки додам, що іноді доводиться знаходити та креслити кілька радіусів, тому на фотографії так багато всього намішано.

22.09.2014
Принцип дії. При натисканні кнопки першої цифри коду SA1 тригер DD1.1 перемикається і на вході D тригера DD1.2 з'явиться напруга високого рівня. Тому при натисканні чергової кнопки коду SA2 тригер DD1.2 змінює свій стан і готує перемикання наступний тригер. У разі подальшого правильного набору останнім спрацює тригер DD2.2 і …
03.10.2014
Пропонований пристрій стабілізує напругу до 24В та струмом до 2А із захистом від замикання. У разі нестійкого запуску стабілізатора слід застосувати синхронізацію від автономного генератора рис імпульсів. 2 . Схема стабілізатора показано на рис.1. На VT1 VT2 зібрано тригер Шмітта, який керує потужним регулюючим транзистором VT3. Деталі: VT3 забезпечений тепловідведенням.
20.09.2014
Підсилювач виконаний за традиційною схемою з автозміщенням на лампах: вихідні – AL5, драйвери – 6Г7, кенотрон – AZ1. Схема одного з двох каналів стереопідсилювача показано на рис.1. З регулятора гучності сигнал надходить на сітку лампи 6Г7, посилюється і з анода цієї лампи через конденсатор C4 подається на …
15.11.2017
NE555 - універсальний таймер - пристрій для формування (генерації) одиночних та повторюваних імпульсів зі стабільними часовими характеристиками. Є асинхронним RS-тригером зі специфічними порогами входів, точно заданими аналоговими компараторами і вбудованим дільником напруги (прецизійний тригер Шмітта з RS-тригером). Застосовується для побудови різних генераторів, модуляторів, реле часу, порогових пристроїв та інших …

Спочатку розберемося на відміну між колом і окружністю. Щоб побачити цю різницю, достатньо розглянути, чим є обидві фігури. Це незліченну кількість точок площини, що знаходяться на рівній відстані від єдиної центральної точки. Але, якщо коло складається і з внутрішнього простору, то коло воно не належить. Виходить, що коло це і коло, що обмежує його (о-кружність), і незліченну кількість точок, що всередині кола.

Для будь-якої точки L, що лежить на колі, діє рівність OL=R. (Довжина відрізка OL дорівнює радіусу кола).

Відрізок, який з'єднує дві точки кола, є її хордий.

Хорда, що проходить прямо через центр кола, є діаметромцього кола (D) . Діаметр можна обчислити за такою формулою: D=2R

Довжина колаобчислюється за формулою: C=2\pi R

Площа кола: S=\pi R^(2)

Дугого коланазивається та її частина, яка розташовується між двома її точками. Ці дві точки визначають дві дуги кола. Хорда CD стягує дві дуги: CMD та CLD. Однакові хорди стягують однакові дуги.

Центральним кутомназивається такий кут, що знаходиться між двома радіусами.

Довжину дугиможна знайти за формулою:

Використовуючи градусний захід: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
Використовуючи радіальний захід: CD = \alpha R

Діаметр, що перпендикулярний хорді, ділить хорду і стягнуті нею дуги навпіл.

Якщо хорди AB і CD кола мають перетин у точці N , то твори відрізків хорд, розділені точкою N , рівні між собою.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Стосовно кола

Стосовно колаприйнято називати пряму, у якої є одна загальна точка з коло.

Якщо ж у прямої є дві спільні точки, її називають січучої.

Якщо провести радіус у точку торкання, він буде перпендикулярний дотичній до кола.

Проведемо дві дотичні з цієї точки до нашого кола. Вийде, що відрізки дотичних зрівняються один з одним, а центр кола розташується на бісектрисі кута з вершиною в цій точці.

AC = CB

Тепер до кола з нашої точки проведемо дотичну та січну. Отримаємо, що квадрат довжини відрізка дотичної дорівнюватиме добутку всього відрізка січної на його зовнішню частину.

AC^(2) = CD \cdot BC

Можна зробити висновок: добуток цілого відрізка першої січної на його зовнішню частину дорівнює добутку цілого відрізка другої сікної на його зовнішню частину.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Кути в колі

Градусні заходи центрального кута і дуги, яку той спирається, рівні.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Вписаний кут- Це кут, вершина якого знаходиться на колі, а сторони містять хорди.

Обчислити його можна, дізнавшись величину дуги, оскільки він дорівнює половині цієї дуги.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Який спирається на діаметр, вписаний кут, прямий.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Вписані кути, що спираються на одну дугу, тотожні.

Опирающиеся однією хорду вписані кути тотожні чи його сума дорівнює 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180 ^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

На одному колі знаходяться вершини трикутників з тотожними кутами та заданою основою.

Кут з вершиною всередині кола і розташований між двома хордами тотожний половині суми кутових величин дуг кола, які полягають усередині даного та вертикального кутів.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Кут з вершиною поза коло і розташований між двома січними тотожний половині різниці кутових величин дуг кола, які полягають усередині кута.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Вписане коло

Вписане коло- Це коло, що стосується сторін багатокутника.

У точці, де перетинаються бісектриси кутів багатокутника, розташовується її центр.

Коло може бути вписане не в кожен багатокутник.

Площа багатокутника з вписаним колом знаходиться за формулою:

S = pr,

p - напівпериметр багатокутника,

r - радіус вписаного кола.

Звідси випливає, що радіус вписаного кола дорівнює:

r = \frac(S)(p)

Суми довжин протилежних сторін будуть тотожні, якщо коло вписано у опуклий чотирикутник. І навпаки: у опуклий чотирикутник вписується коло, якщо у ньому суми довжин протилежних сторін тотожні.

AB + DC = AD + BC

У будь-який з трикутників можна вписати коло. Лише одну єдину. У точці, де перетинаються бісектриси внутрішніх кутів фігури, лежатиме центр цього вписаного кола.

Радіус вписаного кола обчислюється за такою формулою:

r = \frac(S)(p) ,

де p = \frac(a + b + c)(2)

Описане коло

Якщо коло проходить через кожну вершину багатокутника, то таке коло прийнято називати описаної біля багатокутника.

У точці перетину серединних перпендикулярів сторін цієї фігури буде центр описаного кола.

Радіус можна знайти, обчисливши його як радіус кола, яка описана біля трикутника, визначеного будь-якими трьома вершинами багатокутника.

Є така умова: коло можна описати близько чотирикутника лише, якщо сума його протилежних кутів дорівнює 180^(\circ) .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180 (\circ)

Біля будь-якого трикутника можна описати коло, причому одну-єдину. Центр такого кола буде розташований у точці, де перетинаються серединні перпендикуляри сторін трикутника.